क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

सीखने का उद्देश्य

क्रमिक वृद्धि और कमी को मिलाकर कुल परिवर्तन निकालें। समझें कि समान प्रतिशत की वृद्धि और कमी एक-दूसरे को समाप्त क्यों नहीं करतीं।

बदलते आधारों में गुणा करें

हर अगला प्रतिशत उस चरण से ठीक पहले की राशि पर लगता है। p% वृद्धि का गुणक 1 + p/100 और कमी का गुणक 1 − p/100 है। यहाँ कमी 100% से कम है, ताकि राशियाँ धनात्मक रहें।

इसलिए अंतिम राशि = मूल राशि × पहला गुणक × दूसरा गुणक। दिए प्रतिशत जोड़ने से बदले आधार की अनदेखी होती है।

सभी गुणकों का गुणनफल F मानें। F > 1 हो तो कुल वृद्धि (F − 1) × 100% है। F < 1 हो तो कुल कमी (1 − F) × 100% है। F = 1 हो तो कुल परिवर्तन नहीं है। अंतिम राशि की तुलना मूल राशि से करें, बीच की राशि से नहीं।

समान p% वृद्धि और कमी का संयुक्त गुणक (1 + p/100) × (1 − p/100) = 1 − (p/100)² है। परिणाम (p²/100)% की कमी है। वृद्धि के बाद आधार बड़ा होता है, इसलिए उतने ही प्रतिशत की कमी, पहले जोड़ी गई मात्रा से अधिक हटाती है।

समानुपाती बदलावों में, बिना गोल किए या निश्चित मात्रा जोड़े, गुणकों का क्रम उलटने पर अंतिम राशि समान रहती है; बीच की राशियाँ बदल सकती हैं।

उदाहरण 1

40 L का भंडार पहले 25% बढ़ता, फिर 10% घटता है। अंतिम मात्रा और कुल परिवर्तन निकालें।

पहले 40 × 1.25 = 50 L। फिर 50 × 0.90 = 45 L। कुल वृद्धि 5 L है, इसलिए (5/40) × 100% = 12.5%। यह केवल दी गई दरों को घटाने का परिणाम नहीं है।

उदाहरण 2

₹2,500 की कीमत पहले 20% बढ़ती, फिर 20% घटती है।

बढ़ी कीमत 2500 × 1.20 = ₹3000 है। घटी कीमत 3000 × 0.80 = ₹2400 है। हानि ₹100 है, अर्थात (100/2500) × 100% = 4%। समान प्रतिशत बदलाव एक-दूसरे को समाप्त नहीं करते।

उदाहरण 3

80 kg का भंडार पहले 12.5%, फिर 20% घटता है।

पहली कमी के बाद 80 × 0.875 = 70 kg। दूसरी के बाद 70 × 0.80 = 56 kg। संयुक्त गुणक 0.70 है, इसलिए कुल कमी 30% है, 32.5% नहीं।

सामान्य गलतियाँ

दोनों दरें अलग-अलग मूल राशि पर न लगाएँ। क्रमिक कमियाँ न जोड़ें। बचे पूरे हिस्से सहित सही गुणक लें और समय से पहले मान गोल न करें।

अभ्यास प्रश्न

1. ₹1,200 की कीमत पहले 10%, फिर 15% बढ़ती है। अंतिम कीमत और कुल प्रतिशत वृद्धि निकालें।
2. 900 mL का भंडार पहले 10% घटता, फिर 20% बढ़ता है। अंतिम आयतन और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।
3. 64 L का भंडार पहले 25% बढ़ता, फिर 25% घटता है। अंतिम आयतन और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।
4. ₹2,000 की कीमत पहले 10% बढ़ती, फिर 20% घटती, फिर 25% बढ़ती है। अंतिम कीमत और कुल प्रतिशत परिवर्तन निकालें।

हल सहित उत्तर

1. कीमतें 1200 × 1.10 = ₹1320, फिर 1320 × 1.15 = ₹1518 हैं। मूल आधार पर कुल वृद्धि (318/1200) × 100% = 26.5% है।
2. गणना करें: 900 × 0.90 = 810 mL, फिर 810 × 1.20 = 972 mL। कुल वृद्धि (72/900) × 100% = 8% है।
3. आयतन 64 × 1.25 = 80 L, फिर 80 × 0.75 = 60 L होते हैं। कुल कमी (4/64) × 100% = 6.25% है।
4. क्रमिक कीमतें ₹2200, ₹1760 और ₹2200 हैं। संयुक्त गुणक 1.10 × 0.80 × 1.25 = 1.10 है, इसलिए कुल वृद्धि 10% है।