समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपात

सीखने का लक्ष्य

किसी न्यूनकोण के सापेक्ष तीनों भुजाओं को पहचानना, सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपात निकालना और दिए गए अनुपात से अज्ञात लंबाइयाँ ज्ञात करना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

इस पाठ में कोण डिग्री में मापे गए हैं। शून्य से अधिक क्षेत्रफल वाला समकोण त्रिभुज ABC लें, जिसमें ∠C = 90° और संदर्भ कोण θ = ∠A है। इसलिए 0° < θ < 90°। सभी भुजाओं की लंबाइयाँ धनात्मक हैं और समान इकाइयों में हैं।

AB कर्ण H है, जो समकोण के सामने होता है। θ के सापेक्ष BC सामने वाली भुजा O और AC आसन्न लंबभुजा J है। आसन्न लंबभुजा कर्ण नहीं है, भले दोनों भुजाएँ A पर मिलती हों।

परिभाषाएँ: sin θ = O/H; cos θ = J/H; tan θ = O/J। cosec θ = H/O; sec θ = H/J; cot θ = J/O।

इन मान्यताओं में प्रत्येक अनुपात का हर धनात्मक है, इसलिए सभी छह अनुपात परिभाषित हैं। अनुपातों में लंबाई की इकाई नहीं होती, क्योंकि समान इकाइयाँ कट जाती हैं। समान न्यूनकोण वाले समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं: संगत भुजाएँ एक ही गुणक से बदलती हैं, इसलिए प्रत्येक अनुपात अपरिवर्तित रहता है। अतः अनुपात कोण पर निर्भर करते हैं, त्रिभुज के आकार पर नहीं।

संदर्भ कोण B करने पर सामने वाली और आसन्न लंबभुजाओं की भूमिकाएँ बदल जाती हैं; कर्ण वही रहता है। पाइथागोरस का संबंध O² + J² = H² अज्ञात भुजा निकालने में सहायता करता है। लंबाई धनात्मक होने के कारण धनात्मक वर्गमूल लें। जब तक सन्निकटन न माँगा जाए, भिन्न और वर्गमूल सटीक रूप में रखें।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — छह अनुपात। BC = 9 cm और AC = 12 cm हैं। A के अनुपात निकालें।

AB = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm। इसलिए sin A = 9/15 = 3/5, cos A = 12/15 = 4/5, tan A = 9/12 = 3/4। इन भिन्नों को उलटने पर cosec A = 5/3, sec A = 5/4, cot A = 4/3 मिलते हैं।

उदाहरण 2 — लंबाइयाँ निकालना। न्यूनकोण θ के लिए sin θ = 5/13 और H = 39 m है।

O = (5/13) × 39 = 15 m। J = √(39² − 15²) = √1296 = 36 m। अतः cos θ = 36/39 = 12/13 और tan θ = 15/36 = 5/12।

उदाहरण 3 — संदर्भ कोण बदलना। AB = 25 cm और AC = 7 cm हैं।

BC = √(25² − 7²) = √576 = 24 cm। A के लिए सामने वाली भुजा:आसन्न भुजा = 24:7, इसलिए tan A = 24/7। B के लिए भूमिकाएँ उलट जाती हैं: tan B = 7/24, sin B = 7/25 और cos B = 24/25।

आम गलतियाँ

संदर्भ कोण बताए बिना भुजाएँ चुनना; लंबभुजा और कर्ण में भ्रम करना; अनुपातों के साथ लंबाई की इकाई लगाना; भुजाओं की ऋणात्मक लंबाइयाँ लेना।

अभ्यास प्रश्न

1. ABC में ∠C = 90°, BC = 20 cm और AC = 21 cm हैं। AB, sin A, cos A और tan A निकालें।
2. न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 8/17 और H = 34 cm है। J, O और tan θ निकालें।
3. न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 9/40 है। sin θ और sec θ निकालें।
4. ABC में ∠C = 90°, BC = 12 cm और AC = 35 cm हैं। cot A और cot B निकालें।

चरणबद्ध हल

1. AB = √(400 + 441) = 29 cm। इसलिए sin A = 20/29, cos A = 21/29, tan A = 20/21।
2. J = 34 × 8/17 = 16 cm। O = √(1156 − 256) = 30 cm। अतः tan θ = 30/16 = 15/8।
3. O = 9k और J = 40k लिखें, जहाँ k > 0। H = √(81 + 1600)k = 41k। इसलिए sin θ = 9/41 और sec θ = 41/40।
4. cot का अर्थ आसन्न भुजा/सामने वाली भुजा है। A के लिए यह 35/12 है; B के लिए भुजाओं की भूमिकाएँ बदलने से 12/35 मिलता है।