दशमलव संकेतन और क्रम निर्धारण

सीखने का लक्ष्य

दशमलव अंकों का स्थानीय मान पहचानना, समान मान वाले दशमलव रूप समझना और धनात्मक तथा ऋणात्मक दशमलवों को उनके अंकों को अलग पूर्ण संख्याएँ माने बिना क्रम में रखना।

दशमलव संकेतन को समझें

दशमलव संकेतन स्थानीय मान को इकाई के आगे बढ़ाता है। एक स्थान दाएँ जाने पर उस स्थान का मान 10 से भाग हो जाता है। दशमलव बिंदु के बाद पहले तीन स्थान दशांश, शतांश और सहस्रांश हैं। किसी अंक का योगदान उसकी स्थिति पर निर्भर है, केवल अंकित मान पर नहीं।

शून्य आवश्यक स्थान बनाए रख सकता है। दशमलव अंकों के बीच का शून्य सीधे नहीं हटा सकते। लेकिन दशमलव भाग के अंत में शून्य लगाने से मान नहीं बदलता: 0.6 = 0.60। यह सटीक समानता है, पूर्णांकन नहीं।

धनात्मक दशमलवों में पहले पूर्णांक भाग की तुलना करें। उसके समान होने पर दशमलव अंक बाएँ से दाएँ मिलाएँ। अंत में शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या बराबर कर सकते हैं। पहला अलग अंक क्रम तय करता है; अधिक दशमलव अंक होने से संख्या बड़ी नहीं होती।

ऋणात्मक दशमलवों में शून्य से दूरी की तुलना करके क्रम उलटें। शून्य से अधिक नीचे वाली संख्या छोटी होती है। संख्या रेखा पर दाएँ बढ़ने से मान बढ़ता है।

हल किए हुए उदाहरण

उदाहरण 1: 47.308 को समझें।

इसका विस्तार 40 + 7 + 3/10 + 0/100 + 8/1000 है। इसलिए 3 का योगदान 0.3 और 8 का योगदान 0.008 है। शून्य शतांश का स्थान बनाए रखता है; उसे हटाने से संख्या बदल जाएगी।

उदाहरण 2: 0.56, 0.506, 0.560 और 0.605 को क्रम में रखें।

0.56 को 0.560 लिखें। पाँच दशांश से शुरू होने वाली संख्याओं में शतांश का अंक 0.506 और 0.560 का क्रम तय करता है। छह दशांश बड़ा है। इसलिए 0.506 < 0.56 = 0.560 < 0.605।

उदाहरण 3: -2.08, -2.008 और -1.98 को क्रम में रखें।

पहली संख्या को -2.080 लिखें। यह -2.008 की तुलना में शून्य से अधिक नीचे है। दोनों -1.98 से नीचे हैं। आरोही क्रम है: -2.08 < -2.008 < -1.98।

सामान्य गलतियाँ

दशमलव भागों को अलग पूर्ण संख्याएँ मानकर तुलना न करें। बीच के शून्य न हटाएँ और अधिक अंकों वाले दशमलव को बड़ा न मानें। ऋणात्मक संख्याओं में शून्य से अधिक दूरी का अर्थ छोटा मान है, बड़ा नहीं।

अभ्यास प्रश्न

1. 5.072 में 7 का स्थानीय मान क्या है?
2. 3.405, 3.45 और 3.045 को आरोही क्रम में रखें।
3. <, > या = भरें: -0.7 _ -0.65; 6.040 _ 6.04।
4. 1.23 और 1.24 के बीच की कोई एक दशमलव संख्या लिखें, जो दोनों से अलग हो।

व्याख्या सहित उत्तर

1. 7 शतांश के स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान 7/100 = 0.07 है।
2. 3.405, 3.450 और 3.045 के अंकों की स्थानवार तुलना करें। क्रम है: 3.045 < 3.405 < 3.45।
3. -0.70 शून्य से अधिक नीचे है, इसलिए -0.7 < -0.65। अंतिम शून्य मान नहीं बदलता, इसलिए 6.040 = 6.04।
4. एक उत्तर 1.235 है। अंत में शून्य जोड़ने पर 1.230 < 1.235 < 1.240 मिलता है। इससे पुष्टि होती है कि यह संख्या दोनों सिरों के बीच है और किसी सिरे के बराबर नहीं है।