समानुपात और सतत समानुपात

सीखने का उद्देश्य

समानुपात पहचानना, अज्ञात धनात्मक पद निकालना और सतत समानुपात में मध्य पद के वर्ग का संबंध समझना सीखें।

समानुपात को समझें

समानुपात में दो अनुपात बराबर हैं। धनात्मक a, b, c और d के लिए a:b = c:d का अर्थ a/b = c/d है। अलग-अलग राशियाँ भिन्न हो सकती हैं; उनकी आपसी तुलना समान होनी चाहिए।

दोनों भिन्नों को b × d से गुणा करने पर a × d = b × c मिलता है। यही तिर्यक गुणनफल की जाँच है। a और d बाह्य पद हैं; b और c मध्य पद हैं। बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

यह समीकरण है; मनमाने पद गुणा न करें। पदों का स्थान न बदलें। पहले बराबरी लिखें, फिर धनात्मक गुणांक से भाग देकर अज्ञात को अलग करें। उत्तर मूल अनुपातों में रखकर जाँचें।

एक ही प्रकार के मापों में बराबरी जाँचने से पहले इकाइयाँ समान करें। तिर्यक गुणनफल गलत इकाइयों वाला अनुपात ठीक नहीं करता।

सतत समानुपात को समझें

धनात्मक संख्याएँ a, b और c इसी क्रम में सतत समानुपात में होती हैं, जब a:b = b:c हो। मध्य संख्या दोहराई गई है। इसलिए तिर्यक गुणा से b × b = a × c, अर्थात b² = a × c मिलता है।

b वह धनात्मक संख्या है जिसका वर्ग a × c हो। यह बाहरी पदों का गुणोत्तर माध्य है, साधारण अंकगणितीय औसत नहीं। समान रूप से b/a = c/b: अगले पद के लिए समान गुणक लगता है, समान जोड़ आवश्यक नहीं।

उदाहरण 1

क्या 1.2 m:80 cm और 9:6 समानुपात में हैं?

1.2 m को 120 cm में बदलें। अब 120:80 सरल होकर 3:2 बनता है और 9:6 भी 3:2 बनता है। इसलिए समानुपात बनता है। मूल पद अलग, पर सापेक्ष तुलना समान है।

उदाहरण 2

8:14 = x:35 में धनात्मक x निकालें।

तिर्यक गुणा से 8 × 35 = 14 × x, इसलिए 280 = 14 × x। अब 14 से भाग दें: x = 20। जाँचें: 8:14 और 20:35 दोनों का सरल रूप 4:7 है।

उदाहरण 3

4, b और 25 सतत समानुपात में हैं। धनात्मक b निकालें।

यहाँ b² = 4 × 25 = 100, इसलिए b = 10। जाँचें: 4:10 और 10:25 दोनों सरल होकर 2:5 बनते हैं। हर अगले पद के लिए 2.5 से गुणा संबंध की पुष्टि करता है।

सामान्य गलतियाँ

किन्हीं भी तीन संख्याओं को सतत समानुपात में न मानें। क्रम महत्त्वपूर्ण है और मध्य पद का वर्ग वाला संबंध सही होना चाहिए। अंकगणितीय औसत अपने-आप न लगाएँ; इकाइयाँ मिलाएँ।

अभ्यास प्रश्न

1. क्या 18:24 और 27:36 समानुपात में हैं? कारण बताएँ।
2. 7:12 = 21:x में धनात्मक x निकालें।
3. 9:b = b:49 में धनात्मक b निकालें।
4. 6, 15 और धनात्मक c इसी क्रम में सतत समानुपात में हैं। c निकालें।

हल सहित उत्तर

1. हाँ। 18:24 को 6 से भाग देने पर 3:4 मिलता है; 27:36 को 9 से भाग देने पर भी 3:4 मिलता है।
2. तिर्यक गुणा करें: 7 × x = 12 × 21 = 252। इसलिए x = 36 और 21:36 सरल होकर 7:12 बनता है।
3. दोहराए गए मध्य पद से b² = 9 × 49 = 441 मिलता है। इसलिए b = 21; दोनों अनुपात 3:7 बनते हैं।
4. चूँकि 15² = 6 × c, इसलिए c = 225/6 = 37.5। जाँचें: 6/15 = 0.4 और 15/37.5 = 0.4, दोनों बिल्कुल सटीक हैं।