वर्गों और आयतों का परिमाप और क्षेत्रफल

सीखने का लक्ष्य

परिमाप और क्षेत्रफल निकालना, अज्ञात आयाम ज्ञात करना और संगत इकाइयों का उपयोग करके टाइलों की संख्या निकालना।

अवधारणाएँ और मान्यताएँ

आयत के चारों कोण समकोण होते हैं और सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। वर्ग ऐसा आयत है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। अभ्यास के आयामों को आदर्श सटीक लंबाइयाँ मानें।

परिमाप पूरी सीमा की लंबाई बताता है; क्षेत्रफल भीतर घिरी सतह का माप है। आयत की चारों भुजाएँ जोड़ने पर लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ाई मिलता है। इसलिए परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)।

इकाई वर्गों की पंक्तियों की कल्पना करें: लंबाई से प्रत्येक पंक्ति में वर्गों की संख्या और चौड़ाई से पंक्तियों की संख्या तय होती है। इसलिए क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। यही संबंध भिन्नात्मक आयामों पर भी अनुपात के अनुसार लागू होता है।

s भुजा वाले वर्ग का परिमाप = 4s और क्षेत्रफल = s² है। परिमाप में लंबाई की इकाइयाँ और क्षेत्रफल में वर्ग इकाइयाँ लगती हैं। गणना से पहले सभी आयाम एक इकाई में बदलें।

आयत के क्षेत्रफल को एक भुजा से भाग देने पर दूसरी भुजा मिलती है। परिमाप का आधा, लंबाई + चौड़ाई देता है। केवल परिमाप से आयत का क्षेत्रफल तय नहीं होता; भुजाओं की लंबाइयाँ भी महत्त्वपूर्ण हैं।

टाइल लगाने में, जब तक कुछ और न कहा जाए, कोई खाली जगह, अतिव्यापन या बर्बादी नहीं मानें। क्षेत्रफलों का भाग पूरी टाइलों की संख्या तभी देता है जब टाइलें वास्तव में उस व्यवस्था में ठीक बैठती हों।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — सीमा और सतह का अंतर। एक आयताकार बगीचे की लंबाई 26 m और चौड़ाई 18 m है। उसका परिमाप और क्षेत्रफल निकालिए।

परिमाप = 26 + 18 + 26 + 18 = 88 m। क्षेत्रफल = 26 × 18 = 468 m²। बिना फाटक की पूरी बाड़ 88 m की सीमा के साथ लगेगी; सतह ढकने के लिए 468 m² क्षेत्रफल महत्त्वपूर्ण होगा।

उदाहरण 2 — आयाम निकालना। एक आयत का परिमाप 74 m है। उसकी लंबाई, चौड़ाई से 5 m अधिक है। दोनों आयाम और क्षेत्रफल निकालिए।

चौड़ाई w मीटर मानें; लंबाई w + 5 होगी। तब 2(w + w + 5) = 74। 2 से भाग देने पर: 2w + 5 = 37। इसलिए 2w = 32, जिससे चौड़ाई 16 m और लंबाई 21 m है। क्षेत्रफल = 21 × 16 = 336 m²। जाँच: 2(21 + 16) = 74 m।

उदाहरण 3 — बिना कटाई के टाइल लगाना। एक आयताकार फर्श के आयाम 6 m और 4.5 m हैं। वर्गाकार टाइल की भुजा 30 cm है। सीधी पंक्तियों में बिना खाली जगह छोड़े लगाने के लिए टाइलों की संख्या निकालिए।

फर्श के आयाम = 600 cm और 450 cm। लंबाई में टाइलों की संख्या = 600/30 = 20। पंक्तियों की संख्या = 450/30 = 15। दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए किसी टाइल को काटने की आवश्यकता नहीं है। कुल संख्या = 20 × 15 = 300 टाइलें।

आम गलतियाँ

बाड़ के लिए क्षेत्रफल लेना; फर्श ढकने के लिए परिमाप लेना; भुजाएँ निकालने से पहले परिमाप को आधा करना भूलना; सेंटीमीटर और मीटर मिलाना; केवल क्षेत्रफलों के अनुपात से मान लेना कि टाइलें ठीक बैठ जाएँगी।

अभ्यास प्रश्न

1. एक वर्ग का परिमाप 52 cm है। उसकी भुजा और क्षेत्रफल निकालिए।
2. एक आयत का क्षेत्रफल 216 m² और चौड़ाई 12 m है। उसकी लंबाई और परिमाप निकालिए।
3. एक आयत की लंबाई:चौड़ाई का अनुपात 5:2 और क्षेत्रफल 360 m² है। उसके आयाम और परिमाप निकालिए।
4. एक तार से 24 cm लंबाई और 12 cm चौड़ाई वाला आयत बनाया गया है। तार की लंबाई में कोई हानि किए बिना उसे वर्ग में बदला जाता है। घिरे हुए क्षेत्रफल में वृद्धि निकालिए।

चरणबद्ध हल

1. भुजा = 52/4 = 13 cm। क्षेत्रफल = 13 × 13 = 169 cm²।
2. लंबाई = 216/12 = 18 m। परिमाप = 2(18 + 12) = 60 m।
3. आयाम 5x और 2x मीटर मानें। तब 10x² = 360, इसलिए x² = 36 और x = 6, क्योंकि लंबाइयाँ धनात्मक हैं। आयाम 30 m और 12 m हैं; परिमाप = 2(30 + 12) = 84 m।
4. तार की लंबाई = 2(24 + 12) = 72 cm। वर्ग की भुजा = 72/4 = 18 cm। नया क्षेत्रफल = 18² = 324 cm²; मूल क्षेत्रफल = 24 × 12 = 288 cm²। वृद्धि = 324 − 288 = 36 cm²।